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向您介绍我是谁

您好！我叫余爱军，来自浙江省义乌市东洲小学，是朱乐平数学名师工作站“一课研究”团队学员。非常开心在微信平台中与您相遇。

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本期内容有哪些

听一听：以学习活动为基点的教学对话课例分析

读一读：按比例分配教学实践与思考

看一看：比的应用数学趣味题

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轻轻松松听听书

数学教学要以学生发展为本，要以学生的学习活动为基点。如何真正做到尊重学生思维，营建“顺学而导”的数学课堂。上海师大刘兰英教授在《数学课堂对话分析》一书中以一位数学特级的“圆的认识”进行课例分析，诠释了怎样以学习活动为基点开展高质量的数学课堂教学对话，与大家分享刘老师的分析其中两个片断。

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坚持阅读八分钟

追问本质 追寻本源 追逐本真

——按比例分配教学实践与思考

追问本质：按比例分配因何而学？

维度一，按比例分配问题新在哪里？我们分析，一是问题的结构是新的，用比来呈现几个数量之间的关系，这个信息呈现点是新的；二是解题的思路是新的，“基于比的意义，转化关键信息，巧借运算意义解决问题”也就是将“比”转化成份数、分数等，再用除法或分数乘法等解决问题。这种“转化信息”的思路是新的，由此可见，“转化思想”是推动这类问题解题策略生成的内核，学习这个知识过程势必需要感悟转化思想，进一步积淀数学抽象能力。

维度二，为什么有按比例分配这种方式？“分配劳动成果与经商赢余是人类生活中的永恒课题”（《中国数学史大系》），《九章算术》卷第三衰分部分记载了大量的分配实例，如“今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问各几何？”“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何。”这充分说明“分配”这个课题是与人们的生活息息相关的，这种思考方式与经验也是在生活中产生的。所以，追逐按比例分配的本源，可以让学生更好的感受到这种数学模型的特殊价值，体会到按比例分配的意义，让学生充分感受到数学与生活的紧密联系。

追寻本源：按比例分配因“此”而学

【情境活动，产生问题】

如何引领学生追逐到生活本源？需要回归到分配的现实情景，让学习基于经验、突破经验、创造经验。需要在分配的需要性上做文章让学生体会按比例分配的生活性，同时紧紧抓住关键信息实现多维沟通让学生理解按比例分配的解题方法，让教学“因此”而生动透亮。

师：在数学竞赛中六（1）班与六（5）班分别获团体一等奖和二等奖，学校也决定奖励140个桔子，你认为应该怎样分配这些桔子合理？

师：为什么这里不能平均分了，不是平均分配比较公平合理吗？

生：因为奖别不一样，平均分就不公平了。

师：奖级别不一样，如果还是平均分两份，显然不合理了。平均分在这里不合理，那怎样分配呢？请大家发表你的想法。

生：我来分，一班80个，五班60个，因为一等奖要多一些。

师：你意思是一个要多一些，一个要少一些。那按你这样的标准分，如果是14个桔子怎么分？

生：一班8个、五班6个。

师：如果是1400个呢？

生：一班800个、五班600个。

师：这么快就分出来了，你这三次分配都是按什么标准分？

生：都是按一个比，按4：3分的。

师：同学们，面对不能直接平均分的问题，这位同学确立一个比，建立了这样一个新的分配标准再分配，这是人们生活中重要的分配方式，数学上叫做“按比分配”，习惯上也称作“按比例分配”。今天我们主要来认识这种分配方式。（板书：按比例分配）

【设计意图】

情境活动中学生基于生活经验形成“一个多一个少”的思路，但这种思路不具代表性。所以，老师特意跟进了两组素材“14个桔子”“1400个桔子”按这样的思路如何分配？促使学生去思考80与60的关系，进而产生8、6与800、600的分配结果，这个过程让学生有意识的关注分配结果的关系，思维去触碰比例关系，只是还比较模糊。最后，老师再次追问“三次分配都按什么标准分？”，彻底点燃学生心底的那团“火”，挖出“比”这一分配标准，从而产生按比例分配这种新方式。

【交流探索，解决问题】

（1）画图分析，初识结构特点

出示例题：数学竞赛中，六年级1班与5班分别获得一等奖与二等奖，学校决定将140个桔子作为奖品，按3：2奖励给两个班，他们分别可得几个桔子？

学生画图分析理解题意。

老师基于学生作品，在黑板上画图表示题意：

（2）小组互助，探索解答方法

【设计意图】

“按3：2分配”类似这样的信息是按比例分配问题的标志性信息，解决问题关键是要实现对“比”的转化分析。用画图的方式去分析题意，可以突出对关键信息的解读，引起学生对问题结构的关注。同时，图示可以突出比的意义，数形结合帮助学生理解比，实现与分数有意义沟通。

图示分析后学生进行独立思考及小组交流互助，可以促使学生基于原来的除法、分数乘法等知识经验解决问题，再基于小组活动进行方法沟通实现相互帮助。

【集中互助，完善解答方法】

方法一：3+2=5 140÷5=28（个） 28×3=84（个） 28×2=56（个）

师：请问，5是什么意思？第一个算式求什么？140为什么除以5？

方法二：3+2=5 140×3/5=84（个）

140×2/5=56（个）

师：什么意思？题目中并没有分数呀，从哪儿看出来的？

生：3/5是六1班占总数的五分之三。因为3比2，从图中可以看出一共是五份，一班3份就是占了总数的3/5。

……

方法三：设每份是X个，那么1班是3x个，5班是2x个。

3x+2x=140

5x=140

X=28

1班：28×3=84（个）

5班：28×2=56（个）

师：这是很巧妙的假设方式，两个未知数时却并不需要用两个不同字母假设，因为他们都跟一份有关系，所以设一份为x，就可以用3x和2x来表示两个班的数量。这也就是字母来表示数，很方便实用的想法。

师：大家观察三种方法，解题思路有相同地方吗？

生：都有先求每份数。

师：一起看看，除法方法中第一步是求每份数，方程中是先求每份数，那分数方法中求每份数体现在哪儿？

生：140乘时，可以看成先除以5再乘3的，所以140除以5就是先求每份数的。

师：这三种方法中都体现了先求一份，再分别求各自数量。

【设计意图】小组交流中学生对方法已经有了初步的感知，但缺乏全面的理解。集中交流就是为了突出对每种方法的意义分析，帮助学生理解掌握解答方法。以学生展示、老师追问的方式展开交流，可以突出学生的主体性，同时发挥老师的主导作用，在关键点上追问，引导学生真正理解每种方法的意义。特别是对三种方法的对比，让孤立的方法实现了联系，也进一步突出了按比例分配问题解答思路的特点，促进学生对这类问题的意义把握。

【尝试练习，深化理解】

（1）图书馆新进450本图书，按4：5分配给两个年级，分别可以分到几本？

……

师：第一题现在是按4：5分配，如果按5：5分配呢？看谁的速度快？

生：450除以2等于225本。

师：怎么想到除以2？题目中没有2呀？

生：5比5就是1比1，所以就是2份。

师：那按5比5分配其实就是什么分配方式？

生：就是平均分配。

生：平均分就是按1：1分配。

【设计意图】

沟通平均分与按比例分配的关系是本课的目标之一，借助试一试题目变换信息呈现平均分，过程比较自然。“5：5”这样一个特殊比，能迅速引起学生的思考热情，可以看成10份来解决，也可化简为1：1解决，那就是平均分方法。在这样的自主判断与对话中，学生对平均分与按比例分配进行了沟通，明白两者的相通处，从而重新建构了对分配的认识，达成了教学目标。

追逐本真：按比例分配因“经验”而生长

1.激活经验，支撑学习

教学充分关注激活学生已有的知识经验，让已有经验支撑学习水原三星赛事预测。一是平均分的经验。“把桔子奖励给两个同为一等奖的班级”这个素材快速激活了学生平均分经验，也是日常分配的既有经验。二是比的意义。“画图表示3：2”这个过程让学生回顾了比的意义，也为实现比与分数、份数的转化做了积极准备。三是求每份数的方法。在独立尝试过程中学生主动的迁移归一法、分数乘法、方程等已有方法解决问题。三组素材（活动）让三个核心经验得以激活，让后续的冲突生成、意义理解有了充分的心理准备。

2.挑战经验，引发学习 坦佩雷联赛事前瞻

“桔子分给两个奖别不一样的班级如何分？”这个新问题让学生对平均分经验产生了怀疑，产生了挑战经验的欲望，为学生“发现”按比例分配方式创造了机会。这是本课最关键的经验挑战点。同时，解决例题过程中，学生基于旧经验运用除法、分数乘法等方法顺利的解决了新问题。“这些方法有相同处吗？”这个问题引发学生对三种旧方法的思考，再次去经历挑战经验的过程，创造了发现解决按比例分配问题需要“求每份数”这一核心经验的机会。这是解题方法层面重要的经验挑战点。另外，“如果按5：5分配呢？看谁的速度快？”在尝试练习环节的这一信息变换，让学生对刚刚建立的按比例分配经验受到了挑战，为实现平均分与按比例分配的意义沟通创造了机会。这是理解按比例分配意义的核心挑战点。

回顾整个学习过程，学生经历三次重要的经验挑战，也随之展开了三次关键的学习活动，分别达成了“理解按比例分配的意义、掌握解答方法，体会平均分与按比例分配的关系”等目标。

3.创新经验，提升学习

在解决“140个桔子分给一、二等奖两个班级如何分？”时，以现场追问的方式补充呈现了两组素材“按这样的分配方法14个桔子如何分？”“1400个桔子呢？”。当学生说“140个桔子分别分80个和60个时，学生的经验是“一等奖多一点、二等奖少点”这样一个模糊的标准。紧跟的问题——按这样的分配方法14个桔子如何分，迅速有意义的对学生的思维进行了导向——这样的分配方法是什么？学生不得不重新思考刚才“多一点与少点”的具体标准。

“14个桔子”这个新素材给学生重新思考提供了脚手架，所以学生很快的找到“8个与6个”这个结果，当然这个结果的形成不排除是纵向思考（就是140变成14是除以10，所以80也要除以10）的结果。所以马上跟进第三个问题——1400个桔子呢？让学再次修正自己的经验，同时也形成了三组数据——80个、60个，8个、6个，800个、600个，这样三组数据排列在黑板上也就为孩子再次审视“按什么标准分配”，发现“按4：3”分配创造了机会。

这个过程，学生经历了“多一点与少一点”“同时乘或除以一个相同数”“都按4：3这个比分”这样三次对经验的不断修正创造过程，也让学生深刻的体会到按比例分配这种新分配方式产生的生活性与价值所在。

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比的应用趣味题

一军三将，将十队，队七十五人，每将分左右兼，作九行。爬头拽行，每日六十里。明日路狭，以单兼拽行。至晚，欲先知宿程里数，合几何？

答曰：

术文说：以均输求之。置行数为法，以单数一行用乘日行程数，为实。实如法而一，得宿程里步。

如设原行速度为a，改单列行速为b，那么a:b=9:1，所求行速b=1/9a=60/9（里）=6里240步，与术文一致。从行军时间说，与列队数当成反比。

审核人：周晓辉 郑慧强